Distancia de un punto a un plano y distancia de un punto a una recta

La distancia D de un punto Q a un plano es la longitud del segmento de recta más corto que une a Q con el plano.
Suponiendo que tenemos las coordenadas del punto Q y la ecuacion del plano.
Si P es un punto cualquiera sobre el plano, la distancia puede hallarse proyectando el vector PQ sobre el vector normal n (que es perpendicular al plano), la magnitud de esta proyeccion es la distancia buscada.

Un punto cualquiera del plano ax+by+cz+d=0 se puede encontrar si se hace y=0 y z=0 entonces de la ecuacion  ax+d=0  se concluye que el punto (-d/a,0,0) está en el plano, este sera el punto P.

Resolviendo la proyección del vector PQ sobre n, se tiene:

 

Aqui a,b,c son las componentes del vector  n, normal al plano (perpendicular al plano)

x0,y0,z0 son las coordenadas del punto Q

x1,y1,z1 son las coordenadas del punto P

D es la distancia.

NOTA CONFUSORIA: si se tienen dos puntos A y B, la union de esos dos puntos sera el vector AB . El origen sera el punto A y la punta de la flecha  estara en B.  Para determinar AB se realiza B-A.

Si en la formula anterior multiplicamos donde se tiene que multiplicar  y definimos d como:  d=-(ax1+by1+cz1) la ecuación anterior se puede expresar como:

se está usando el valor absoluto en el numerador porque una distancia no podría ser negativa en nuestro mundo.

NOTA: LA PROYECCION DE UN VECTOR SOBRE OTRO NO SE TRATA EN ESTE CAPITULO, visita el link.

Ejemplo de como aplicar esta formula:

Tenemos el Punto (3,1,-2)
Y el plano 2x+y-z+1=0

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN EL ESPACIO

La fórmula se parece a la de la distancia de un punto a un plano, excepto porque se reemplaza el producto vectorial por la magnitud del producto vectorial y el vector normal n por un vector de dirección para la recta.

Por ejemplo:
El punto Q(3,-1,4) y la recta dada por
x=-2+3t
y=-2t
z=1+4t
los numeros de dirección son 3,-2 y 4, un vector de direccion de la recta es u=(3,-2 , 4)
un punto en la recta se encuentra haciendo t=0 y se obtiene P=(-2,0,1)

se aplica la resta para encontrar el vector PQ
se forma el producto vectorial
y se encuentra la distancia por la formula de arriba.

.

RECTAS EN EL ESPACIO

En el plano se usa la pendiente para determinar la ecuación de una recta. En el espacio, es más conveniente usar vectores para determinar la ecuación de una recta.

Una recta que pasa por el punto (x1,y1,z1) y paralela al vector v =(a,b,c)

Puede describirse una recta como todos los puntos Q(x,y,z) para los cuales el vector PQ es paralelo a v. Se puede escribir:

PQ=tv

Donde t es un escalar (un numero real)

PQ=(x-x1,y-y1,z-z1)=(at,bt,ct)=tv

De aquí se obtienen las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio.

X=x1 + at

Y=y1 + bt

Z=z1 + ct

Si los números directores a,b y c son distintos de cero, se puede eliminar el parámetro t para obtener las ecuaciones simétricas o cartesianas de la recta:

Ejemplo:

Hallar las ecuaciones parametricas y simetricas de la recta L que pasa por el punto (1,-2,4) y es paralela a v=(2,4,-4)

Se usan las coordenadas: x1=1, y1=-2, z1=4  y  los números de dirección a=2, b=4, c=-4

X=1+2t

Y=-2+4t

Z=4-4t

Las ecuaciones simétricas son:

Si la recta pasa por dos puntos dados, y es el único dato que se proporciona, se empieza por usar los dos puntos para determinar un vector de dirección para la recta que pasa por los dos puntos, el procedimiento es la resta de vectores.