Multiplicacion de Vectores (Producto Cruz)

Tambien se le llama Producto Vectorial, ya que el resultado es un VECTOR.
El producto cruz de dos vectores: AxB ,es una cantidad vectorial cuya magnitud es el área del paralelogramo formado por A y B y está en la dirección de avance que indica la regla de la mano derecha cuando A se mueve hacia B. (significa que es perpendicular al plano que contiene a los dos vectores que se estan multiplicando)

Los Vectores A y B están en el plano xy

El resultado de la operacion vectorial se puede obtener multiplicando las magnitudes de los vectores y el seno del ángulo entre ellos, como el resultado debe ser un vector, se usa un vector unitario normal al plano que contiene a los vectores A y B:

AxB = AB Sen θAB an

donde an es un vector unitario normal al plano que contiene A y B.

Se le llama producto cruz debido al simbolo que usa para indicarse, también se le llama producto vectorial debido a que el resultado es un vector.
Si tenemos los vectores:
A=(Ax,Ay,Az)  y  B=(Bx,By,Bz)
entonces:

El resultado se obtiene cruzando los terminos en permutaciones cíclicas.
El vector resultante tiene magnitud igual al area del paralelogramo que forman los vectores.
Las propiedades del producto cruz son las siguientes:























Como el Sen 0 = 0, cuando los vectores son paralelos, el producto vectorial es cero:

AxB = AB Sen 0 an = 0




.

Multiplicacion de Vectores (producto punto)

Cuando dos vectores A y B son multiplicados el resultado puede ser un escalar o un vector dependiendo de como son multiplicados.  Pues hay dos tipos de multiplicacion:

Producto Escalar o producto punto:
A•B

Producto vectorial o producto cruz:
AxB

Tres vectores, A, B, C pueden resultar en
Triple producto escalar:
A•(BxC)

O triple producto vectorial:
Ax(BxC)

PRODUCTO PUNTO:

El producto punto de dos vectores A y B escrito como A•B es definido geométricamente como el producto de sus magnitudes y el coseno del angulo entre ellos, el resultado es un escalar.
A•B=AB cos t
en donde t es el angulo menor que existe entre AyB

Además, si A=(Ax,Ay,Az)    y     B=(Bx,By,Bz)

entonces:
A•B=AxBx+AyBy+AzBz

es decir el producto punto se obtiene multiplicando A y B componente a componente.
Si el producto punto es cero, los vectores A y B son ortogonales (el angulo entre ellos es de 90 grados)

LEYES DEL PRODUCTO PUNTO:

El producto punto obedece las siguientes leyes:

Propiedad conmutativa:

Propiedad asociativa:

Propiedades para los vectores unitarios(recordar que estos son perpendiculares entre sí)

Ejemplos:

Los vectores A(2,4,1)  y B(5,3,8) se se multiplican usando el producto punto nos dan:

A•B= 2x5+4x3+1x8=10+12+8=30

el Vector A multiplicado por la constante k=3:

kA=3(2,4,1)=(6,12,3)

NOTA: El producto cruz se explica en el siguiente link: link 

CONCEPTOS BASICOS: suma de vectores y multiplicacion por un escalar. Vector unitario

La suma de dos vectores, una vez que se conocen las componentes rectangulares de éstos (que son sus proyecciones sobre los ejes coordenados) es la suma de estas componentes.

sean
u=(u1,u2)   y  v=(v1,v2)

la suma vectorial de u y v es el vector u+v=(u1+v1,u2+v2)
Si c es un escalar el multiplo escalar de c y u es el vector cu=(cu1,cu2) y se vale que c=-1
cuyo multilo escalar es el negativo del vector.
la diferencia o resta de vectores  (u-v) se permite si se le suma el negativo de v a u:

u-v=u+ -v



existen metodos gráficos y aritmeticos para realizar la suma de dos vectores.


Existen propiedades para las operaciones con vectores y escalares que se han definido aqui:

Una identidad más es la longitud de un escalar por un vector, que se define:

                           |cv|=|c||v|

_o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o_

En algunos porblemas es util encontrar un vector unitario que tenga la misma direccion que un vector dado. Un vector unitario es un vector de longitud 1 y tiene la misma dirección y sentido que el vector original, y puede definir al vector original al multiplicarse por un escalar. Se determina mediante la siguiente fórmula:

Tiene longitud 1 y la misma dirección que v