Definicion de Vector, suma, cosenos directores.

Un vector se representa como una flecha, de longitud proporcional a su magnitud, y de esta forma representado, puede interactuar con otros vectores aun sin la presencia de un sistema de coordenadas, el vector contiene informacion sobre el tamaño, la direccion, y el sentido que tiene la magnitud que representa (velocidad, desplazamiento, fuerza, etc) por ejemplo:
Dos vectores se suman poniendo uno despues de otro, el vector resultante es el vector que va desde el principio hasta el final del conjunto de vectores.

Se ve que no importa cual vector se ponga primero, la resultante de poner los dos vectores uno tras otro, es la misma, se dice entonces que la suma de vectores es conmutativa: a+b = b+a.

Usualmente se usa una letra con una rayita encima o una letra en negritas para nombrar un vector.

Existe otra posibilidad para representar vectores: ubicando el vector en un sistema de coordenadas de referencia, con el vector partiendo desde el origen y terminando en el punto (Ax,Ay,Az)

Aunque A puede representar cualquier cantidad vectorial, existe una cantidad imporante, el desplazamiento desde el origen al punto (x,y,z) que se representa por  r  . Entonces podemos elegir si nos referimos al vector desplazamiento como el vector r o como la coleccion (x,y,z).
Usando |r| para la magnitud del vector r podemos ver en la figura que las coordenadas del punto final y la magnitud estan relacionadas por:

x=|r| cos a ,       y=|r| cos B ,       z=|r| cos y

donde los cosenos de alfa(a), beta(B) y gamma(y), son llamados cosenos directores. Y los angulos son medidos entre el vector y el eje correspondiente (a es el angulo entre el vector y el eje z, y asi...).

Ax,Ay,Az son llamadas "componentes (cartesianas) del vector A" o tambien son llamadas "proyecciones del vector A", o simplemente "proyecciones de A".





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Proyeccion de un vector sobre otro vector

Proyectar un vector sobre otro es encontrar el vector que tiene la misma direccion que el vector que recibe la proyeccion, pero su longitud depende del vector que se proyecta:

Es como una sombra:

El vector A se esta proyectando sobre el vector B 

y el resultado es el vector verde.

El vector proyeccion es resultado de multiplicar el vector B por un escalar, en el dibujo la proyeccion es mas pequeña que el vector que recibe la proyeccion, pero puede darse el caso de que la proyeccion sea mas larga que el vector que la recibe, sin embargo, no deja de ser producto de un escalar por el vector, ya que tiene la misma direccion:

 ...........................

  Proy AB= n B

Y a qué es igual ese numero n? vamos a considerar el triángulo rectángulo que forman el vector proyección, el vector proyectado (A) y la linea punteada.

 El vector proyección (verde) es el cateto adyacente, el vector A es la hipotenusa y la linea punteada es el cateto opuesto del angulo (t) que forman A y la proyección.  La magnitud del cateto adyacente es igual a la hipotenusa multiplicada por el coseno del angulo.

| Proy AB | = |A| cos t

Pero de la definicion de producto punto tenemos que

El producto punto de dos vectores A y B escrito como A•B es definido geométricamente como el producto de sus magnitudes y el coseno del ángulo entre ellos, el resultado es un escalar.

A•B=|A||B| cos t

O lo que es igual (dividiendo entre |B|):

A•B    =    |A| cos t
 |B|


Sustituyendo esto en la ecuacion que define la magnitud de la proyeccion nos queda:

| Proy AB | =   A•B
....................... |B|




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Multiplicacion de Vectores (Producto Cruz)

Tambien se le llama Producto Vectorial, ya que el resultado es un VECTOR.
El producto cruz de dos vectores: AxB ,es una cantidad vectorial cuya magnitud es el área del paralelogramo formado por A y B y está en la dirección de avance que indica la regla de la mano derecha cuando A se mueve hacia B. (significa que es perpendicular al plano que contiene a los dos vectores que se estan multiplicando)

Los Vectores A y B están en el plano xy

El resultado de la operacion vectorial se puede obtener multiplicando las magnitudes de los vectores y el seno del ángulo entre ellos, como el resultado debe ser un vector, se usa un vector unitario normal al plano que contiene a los vectores A y B:

AxB = AB Sen θAB an

donde an es un vector unitario normal al plano que contiene A y B.

Se le llama producto cruz debido al simbolo que usa para indicarse, también se le llama producto vectorial debido a que el resultado es un vector.
Si tenemos los vectores:
A=(Ax,Ay,Az)  y  B=(Bx,By,Bz)
entonces:

El resultado se obtiene cruzando los terminos en permutaciones cíclicas.
El vector resultante tiene magnitud igual al area del paralelogramo que forman los vectores.
Las propiedades del producto cruz son las siguientes:























Como el Sen 0 = 0, cuando los vectores son paralelos, el producto vectorial es cero:

AxB = AB Sen 0 an = 0




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Multiplicacion de Vectores (producto punto)

Cuando dos vectores A y B son multiplicados el resultado puede ser un escalar o un vector dependiendo de como son multiplicados.  Pues hay dos tipos de multiplicacion:

Producto Escalar o producto punto:
A•B

Producto vectorial o producto cruz:
AxB

Tres vectores, A, B, C pueden resultar en
Triple producto escalar:
A•(BxC)

O triple producto vectorial:
Ax(BxC)

PRODUCTO PUNTO:

El producto punto de dos vectores A y B escrito como A•B es definido geométricamente como el producto de sus magnitudes y el coseno del angulo entre ellos, el resultado es un escalar.
A•B=AB cos t
en donde t es el angulo menor que existe entre AyB

Además, si A=(Ax,Ay,Az)    y     B=(Bx,By,Bz)

entonces:
A•B=AxBx+AyBy+AzBz

es decir el producto punto se obtiene multiplicando A y B componente a componente.
Si el producto punto es cero, los vectores A y B son ortogonales (el angulo entre ellos es de 90 grados)

LEYES DEL PRODUCTO PUNTO:

El producto punto obedece las siguientes leyes:

Propiedad conmutativa:

Propiedad asociativa:

Propiedades para los vectores unitarios(recordar que estos son perpendiculares entre sí)

Ejemplos:

Los vectores A(2,4,1)  y B(5,3,8) se se multiplican usando el producto punto nos dan:

A•B= 2x5+4x3+1x8=10+12+8=30

el Vector A multiplicado por la constante k=3:

kA=3(2,4,1)=(6,12,3)

NOTA: El producto cruz se explica en el siguiente link: link 

CONCEPTOS BASICOS: Vectores unitarios canonicos.

Se definen los vectores unitarios

i = <1,0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

y tienen su punto inicial en el origen, son paralelos a los ejes coordenados, y magnitud 1

Con estos vectores se puede representar cualquier vector como la suma de los vectores unitarios multiplicados por diferentes escalares 

Ejemplo: El vector A(a1,a2,a3) se puede representar por la suma de sus componentes rectangulares definidas por vectores unitarios: A = a1i + a2j + a3k

A los vectores a1i, a2, a3j se les llama vectores componentes.

 fuente: http://www.slideshare.net/fpinela/vectores-nivel-cero-b

CONCEPTOS BASICOS: suma de vectores y multiplicacion por un escalar. Vector unitario

La suma de dos vectores, una vez que se conocen las componentes rectangulares de éstos (que son sus proyecciones sobre los ejes coordenados) es la suma de estas componentes.

sean
u=(u1,u2)   y  v=(v1,v2)

la suma vectorial de u y v es el vector u+v=(u1+v1,u2+v2)
Si c es un escalar el multiplo escalar de c y u es el vector cu=(cu1,cu2) y se vale que c=-1
cuyo multilo escalar es el negativo del vector.
la diferencia o resta de vectores  (u-v) se permite si se le suma el negativo de v a u:

u-v=u+ -v



existen metodos gráficos y aritmeticos para realizar la suma de dos vectores.


Existen propiedades para las operaciones con vectores y escalares que se han definido aqui:

Una identidad más es la longitud de un escalar por un vector, que se define:

                           |cv|=|c||v|

_o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o__o_o_

En algunos porblemas es util encontrar un vector unitario que tenga la misma direccion que un vector dado. Un vector unitario es un vector de longitud 1 y tiene la misma dirección y sentido que el vector original, y puede definir al vector original al multiplicarse por un escalar. Se determina mediante la siguiente fórmula:

Tiene longitud 1 y la misma dirección que v

CONCEPTOS BASICOS: Cantidad Vectorial y Cantidad Escalar, magnitud de un vector

En física se miden magnitudes, como distancia, masa, tiempo, etc... que se miden usando unidades establecidas; por ejemplo el metro es la unidad de medición de distancia, la unidad de medicion de masa es el kilogramo, el segundo es la unidad de medicion de tiempo.
Todos conocen estas unidades de medición y hay un consenso aceptado para fines de compatibilidad de los productos y mediciones hechas.
El metro es la misma distancia en todos los países, por ejemplo, ya que todos los paises estuvieron de acuerdo en su definición.
Este tipo de magnitudes que se describen con un número y una unidad de medición, se denominan magnitudes escalares.
Existen otro tipo de magnitudes que para describirse necesitan además de un número y una unidad, que se especifique la direccion en que están establecidas, para represetarlas se usa un segmento de recta dirigido, que indica una dirección y un sentido y que además tiene una magnitud o valor.
Un segmento de recta tiene un punto inicial y un punto final, dos segmentos de recta que tienen la misma magnitud y sentido se denominan equivalentes, en la figura se ve un segmento de recta con sus puntos inicial (P) y final (Q), su magnitud y luego varios segmentos equivalentes:

El conjunto de todos los segmentos de recta equivalentes es un vector en el plano. Un vector en el plano se denota con letras minúsculas en negritas: v = PQ o usando una flecha pequeña sobre la letra que denota el vector.

Si el punto inicial coincide con el origen del sistema de referencia se dice que el vector v está en a posición canónica o estándar, y se denotará enunciando solo el punto final del vector: v=(v1,v2) dichas coordenadas se llaman componentes de v, si el punto final tambien está en el origen, se tiene el vector cero o vector nulo.
La magnitud de un vector se determina aplicando el teorema de pitágoras a sus componentes, dado que son compenentes rectangulares o proyecciones del punto final del vector sobre los ejes coordenados del sistema de referencia.