Proyeccion de un vector sobre otro vector

Proyectar un vector sobre otro es encontrar el vector que tiene la misma direccion que el vector que recibe la proyeccion, pero su longitud depende del vector que se proyecta:

Es como una sombra:

El vector A se esta proyectando sobre el vector B 

y el resultado es el vector verde.

El vector proyeccion es resultado de multiplicar el vector B por un escalar, en el dibujo la proyeccion es mas pequeña que el vector que recibe la proyeccion, pero puede darse el caso de que la proyeccion sea mas larga que el vector que la recibe, sin embargo, no deja de ser producto de un escalar por el vector, ya que tiene la misma direccion:

 ...........................

  Proy AB= n B

Y a qué es igual ese numero n? vamos a considerar el triángulo rectángulo que forman el vector proyección, el vector proyectado (A) y la linea punteada.

 El vector proyección (verde) es el cateto adyacente, el vector A es la hipotenusa y la linea punteada es el cateto opuesto del angulo (t) que forman A y la proyección.  La magnitud del cateto adyacente es igual a la hipotenusa multiplicada por el coseno del angulo.

| Proy AB | = |A| cos t

Pero de la definicion de producto punto tenemos que

El producto punto de dos vectores A y B escrito como A•B es definido geométricamente como el producto de sus magnitudes y el coseno del ángulo entre ellos, el resultado es un escalar.

A•B=|A||B| cos t

O lo que es igual (dividiendo entre |B|):

A•B    =    |A| cos t
 |B|


Sustituyendo esto en la ecuacion que define la magnitud de la proyeccion nos queda:

| Proy AB | =   A•B
....................... |B|




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