Distancia de un punto a un plano y distancia de un punto a una recta

La distancia D de un punto Q a un plano es la longitud del segmento de recta más corto que une a Q con el plano.
Suponiendo que tenemos las coordenadas del punto Q y la ecuacion del plano.
Si P es un punto cualquiera sobre el plano, la distancia puede hallarse proyectando el vector PQ sobre el vector normal n (que es perpendicular al plano), la magnitud de esta proyeccion es la distancia buscada.

Un punto cualquiera del plano ax+by+cz+d=0 se puede encontrar si se hace y=0 y z=0 entonces de la ecuacion  ax+d=0  se concluye que el punto (-d/a,0,0) está en el plano, este sera el punto P.

Resolviendo la proyección del vector PQ sobre n, se tiene:

 

Aqui a,b,c son las componentes del vector  n, normal al plano (perpendicular al plano)

x0,y0,z0 son las coordenadas del punto Q

x1,y1,z1 son las coordenadas del punto P

D es la distancia.

NOTA CONFUSORIA: si se tienen dos puntos A y B, la union de esos dos puntos sera el vector AB . El origen sera el punto A y la punta de la flecha  estara en B.  Para determinar AB se realiza B-A.

Si en la formula anterior multiplicamos donde se tiene que multiplicar  y definimos d como:  d=-(ax1+by1+cz1) la ecuación anterior se puede expresar como:

se está usando el valor absoluto en el numerador porque una distancia no podría ser negativa en nuestro mundo.

NOTA: LA PROYECCION DE UN VECTOR SOBRE OTRO NO SE TRATA EN ESTE CAPITULO, visita el link.

Ejemplo de como aplicar esta formula:

Tenemos el Punto (3,1,-2)
Y el plano 2x+y-z+1=0

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN EL ESPACIO

La fórmula se parece a la de la distancia de un punto a un plano, excepto porque se reemplaza el producto vectorial por la magnitud del producto vectorial y el vector normal n por un vector de dirección para la recta.

Por ejemplo:
El punto Q(3,-1,4) y la recta dada por
x=-2+3t
y=-2t
z=1+4t
los numeros de dirección son 3,-2 y 4, un vector de direccion de la recta es u=(3,-2 , 4)
un punto en la recta se encuentra haciendo t=0 y se obtiene P=(-2,0,1)

se aplica la resta para encontrar el vector PQ
se forma el producto vectorial
y se encuentra la distancia por la formula de arriba.

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Planos en el espacio

Una ecuacion de un plano en el espacio se puede obtener a partir de un punto en el plano y un vector NORMAL al plano. Cuando se dice NORMAL significa que es perpendicular.
Considerar el plano que contiene el punto P(x1,y1,z1) y que tiene un vector normal distinto de cero n=(a,b,c)
Este plano consta de todos los puntos Q(x,y,z) para los cuales el vector PQ es ortogonal a n.

Usando el producto vetorial se tiene:

n.PQ=0
(a,b,c).(x-x1,y-y1,z-z1)=0
a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0

que es la ecuación canónica o estándar de un plano en el espacio.
si se reagrupan los términos se obtiene la forma general de la ecuación de un plano en el espacio:

ax+by+cz+d=0

POR EJEMPLO:

Hallar la ecuación general del plano que contiene los puntos (2,1,1), (0,4,1) y (-2,1,4)
SOLUCION:
Se necesita un punto en el plano y un vector que sea normal, como no se da en los datos del problema, se va a usar el producto vectorial de dos vectores que van de (2,1,1) a cada uno de los otros dos puntos.
Sean
u=(0-2,4-1,1-1)=(-2,3,0)
v=(-2-2,1-1,4-1)=(-4,0,3)

n=u x v


          i       j      k
=      -2      3     0
        -4      0     3

=    9i+6j+12k  = (a,b,c)


ahora se puede determinar la ecuacion del plano que es
a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0

9(x-2)+6(y-1)+12(z-1)=0

9x+6y+12z-36=0



CUANDO DOS PLANOS SE CORTAN, LO HACEN EN UNA LINEA RECTA, Y FORMAN UN ANGULO ENTRE ELLOS.

Dos planos distintos en el espacio o son paralelos o se cortan, el angulo q entre los vectores normales está dado por

La ecuacion de la recta de intersección entre los planos se puede obtener resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones lineales que representan a los planos, como falta una ecuación, se pueden despejar solo dos variables en términos de la tercera, que se expresará en términos del parámetro t, de éste modo se tienen las paramétricas de la recta de intersección de los planos.

La recta de intersección de los dos planos es paralela al producto vectorial de sus vectores normales. (n1 x n2)

Si en la ecuación del plano se hace una variable cero, queda una recta en uno de los planos coordenados, esto es una traza del plano en donde éste se intersecta con el plano coordenado.

Trazando las "trazas" en los planos coordenados, se puede esbozar un plano en el espacio.

Si en una ecuación de un plano está ausente una variable, el plano va a seer paralelo al eje correspondiente a la variable ausente.

Si faltan dos variables, este es paralelo al plano coordenado correspondiente a las variables ausentes. 

RECTAS EN EL ESPACIO

En el plano se usa la pendiente para determinar la ecuación de una recta. En el espacio, es más conveniente usar vectores para determinar la ecuación de una recta.

Una recta que pasa por el punto (x1,y1,z1) y paralela al vector v =(a,b,c)

Puede describirse una recta como todos los puntos Q(x,y,z) para los cuales el vector PQ es paralelo a v. Se puede escribir:

PQ=tv

Donde t es un escalar (un numero real)

PQ=(x-x1,y-y1,z-z1)=(at,bt,ct)=tv

De aquí se obtienen las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio.

X=x1 + at

Y=y1 + bt

Z=z1 + ct

Si los números directores a,b y c son distintos de cero, se puede eliminar el parámetro t para obtener las ecuaciones simétricas o cartesianas de la recta:

Ejemplo:

Hallar las ecuaciones parametricas y simetricas de la recta L que pasa por el punto (1,-2,4) y es paralela a v=(2,4,-4)

Se usan las coordenadas: x1=1, y1=-2, z1=4  y  los números de dirección a=2, b=4, c=-4

X=1+2t

Y=-2+4t

Z=4-4t

Las ecuaciones simétricas son:

Si la recta pasa por dos puntos dados, y es el único dato que se proporciona, se empieza por usar los dos puntos para determinar un vector de dirección para la recta que pasa por los dos puntos, el procedimiento es la resta de vectores.

Multiplicacion de Vectores (Producto Cruz)

Tambien se le llama Producto Vectorial, ya que el resultado es un VECTOR.
El producto cruz de dos vectores: AxB ,es una cantidad vectorial cuya magnitud es el área del paralelogramo formado por A y B y está en la dirección de avance que indica la regla de la mano derecha cuando A se mueve hacia B. (significa que es perpendicular al plano que contiene a los dos vectores que se estan multiplicando)

Los Vectores A y B están en el plano xy

El resultado de la operacion vectorial se puede obtener multiplicando las magnitudes de los vectores y el seno del ángulo entre ellos, como el resultado debe ser un vector, se usa un vector unitario normal al plano que contiene a los vectores A y B:

AxB = AB Sen θAB an

donde an es un vector unitario normal al plano que contiene A y B.

Se le llama producto cruz debido al simbolo que usa para indicarse, también se le llama producto vectorial debido a que el resultado es un vector.
Si tenemos los vectores:
A=(Ax,Ay,Az)  y  B=(Bx,By,Bz)
entonces:

El resultado se obtiene cruzando los terminos en permutaciones cíclicas.
El vector resultante tiene magnitud igual al area del paralelogramo que forman los vectores.
Las propiedades del producto cruz son las siguientes:























Como el Sen 0 = 0, cuando los vectores son paralelos, el producto vectorial es cero:

AxB = AB Sen 0 an = 0




.

Multiplicacion de Vectores (producto punto)

Cuando dos vectores A y B son multiplicados el resultado puede ser un escalar o un vector dependiendo de como son multiplicados.  Pues hay dos tipos de multiplicacion:

Producto Escalar o producto punto:
A•B

Producto vectorial o producto cruz:
AxB

Tres vectores, A, B, C pueden resultar en
Triple producto escalar:
A•(BxC)

O triple producto vectorial:
Ax(BxC)

PRODUCTO PUNTO:

El producto punto de dos vectores A y B escrito como A•B es definido geométricamente como el producto de sus magnitudes y el coseno del angulo entre ellos, el resultado es un escalar.
A•B=AB cos t
en donde t es el angulo menor que existe entre AyB

Además, si A=(Ax,Ay,Az)    y     B=(Bx,By,Bz)

entonces:
A•B=AxBx+AyBy+AzBz

es decir el producto punto se obtiene multiplicando A y B componente a componente.
Si el producto punto es cero, los vectores A y B son ortogonales (el angulo entre ellos es de 90 grados)

LEYES DEL PRODUCTO PUNTO:

El producto punto obedece las siguientes leyes:

Propiedad conmutativa:

Propiedad asociativa:

Propiedades para los vectores unitarios(recordar que estos son perpendiculares entre sí)

Ejemplos:

Los vectores A(2,4,1)  y B(5,3,8) se se multiplican usando el producto punto nos dan:

A•B= 2x5+4x3+1x8=10+12+8=30

el Vector A multiplicado por la constante k=3:

kA=3(2,4,1)=(6,12,3)

NOTA: El producto cruz se explica en el siguiente link: link