martes, 27 de abril de 2010

Distancia de un punto a un plano y distancia de un punto a una recta


La distancia D de un punto Q a un plano es la longitud del segmento de recta más corto que une a Q con el plano.
Suponiendo que tenemos las coordenadas del punto Q y la ecuacion del plano.
Si P es un punto cualquiera sobre el plano, la distancia puede hallarse proyectando el vector PQ sobre el vector normal n (que es perpendicular al plano), la magnitud de esta proyeccion es la distancia buscada.






Un punto cualquiera del plano ax+by+cz+d=0 se puede encontrar si se hace y=0 y z=0 entonces de la ecuacion  ax+d=0  se concluye que el punto (-d/a,0,0) está en el plano, este sera el punto P.

Resolviendo la proyección del vector PQ sobre n, se tiene:
Aqui a,b,c son las componentes del vector  n, normal al plano (perpendicular al plano)
x0,y0,z0 son las coordenadas del punto Q
x1,y1,z1 son las coordenadas del punto P
D es la distancia.

NOTA CONFUSORIA: si se tienen dos puntos A y B, la union de esos dos puntos sera el vector AB . El origen sera el punto A y la punta de la flecha  estara en B.  Para determinar AB se realiza B-A.


Si en la formula anterior multiplicamos donde se tiene que multiplicar  y definimos d como:  d=-(ax1+by1+cz1) la ecuación anterior se puede expresar como:

se está usando el valor absoluto en el numerador porque una distancia no podría ser negativa en nuestro mundo.

NOTA: LA PROYECCION DE UN VECTOR SOBRE OTRO NO SE TRATA EN ESTE CAPITULO, visita el link.

Ejemplo de como aplicar esta formula:

Tenemos el Punto (3,1,-2)
Y el plano 2x+y-z+1=0




DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN EL ESPACIO

La fórmula se parece a la de la distancia de un punto a un plano, excepto porque se reemplaza el producto vectorial por la magnitud del producto vectorial y el vector normal n por un vector de dirección para la recta.
Por ejemplo:
El punto Q(3,-1,4) y la recta dada por
x=-2+3t
y=-2t
z=1+4t
los numeros de dirección son 3,-2 y 4, un vector de direccion de la recta es u=(3,-2 , 4)
un punto en la recta se encuentra haciendo t=0 y se obtiene P=(-2,0,1)

se aplica la resta para encontrar el vector PQ
se forma el producto vectorial
y se encuentra la distancia por la formula de arriba.

.

2 comentarios:

  1. que pasa si la distancia de un punto a un plano es cero?

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  2. 1. El punto se encuentra en el plano, el punto pertenece al plano y satisface la eccuacion del plano (sustituir el punto en x,y y z).
    2. El procedimiento para encontrar la distancia comienza por elegir un punto cualquiera (Q) en el plano, y luego proyectar el vector PQ sobre el vector normal al plano. Si el punto P esta en el plano, el vector PQ sera perpendicular al vector normal, y la proyeccion vale cero.

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