RECTAS EN EL ESPACIO

En el plano se usa la pendiente para determinar la ecuación de una recta. En el espacio, es más conveniente usar vectores para determinar la ecuación de una recta.

Una recta que pasa por el punto (x1,y1,z1) y paralela al vector v =(a,b,c)

Puede describirse una recta como todos los puntos Q(x,y,z) para los cuales el vector PQ es paralelo a v. Se puede escribir:

PQ=tv

Donde t es un escalar (un numero real)

PQ=(x-x1,y-y1,z-z1)=(at,bt,ct)=tv

De aquí se obtienen las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio.

X=x1 + at

Y=y1 + bt

Z=z1 + ct

Si los números directores a,b y c son distintos de cero, se puede eliminar el parámetro t para obtener las ecuaciones simétricas o cartesianas de la recta:

Ejemplo:

Hallar las ecuaciones parametricas y simetricas de la recta L que pasa por el punto (1,-2,4) y es paralela a v=(2,4,-4)

Se usan las coordenadas: x1=1, y1=-2, z1=4  y  los números de dirección a=2, b=4, c=-4

X=1+2t

Y=-2+4t

Z=4-4t

Las ecuaciones simétricas son:

Si la recta pasa por dos puntos dados, y es el único dato que se proporciona, se empieza por usar los dos puntos para determinar un vector de dirección para la recta que pasa por los dos puntos, el procedimiento es la resta de vectores.